Tentons de le dire en un raccourci. C'est un espace vectoriel dans lequel toute suite de Cauchy converge, ou, pour le dire d'une autre manière, dans lequel le critère de Cauchy est vérifié. Ce critère, Cauchy l'avait découvert pour les suites numériques (et il aurait été bien en peine de le démontrer, la notion de nombre réel n'ayant été dégagée qu'ultérieurement), en observant, dans un premier temps, que si une suite converge

peuvent être rendus plus petits qu'une quantité arbitraire (que l'usage fait souvent désigner par epsilon), à partir d'un rang N , qui ne dépend que de epsilon.
ça, c'est très facile... mais Cauchy avait eu l'audace de conjecturer qu'inversement, une suite ayant cette propriété converge. C'est ce qui explique le choix du mot complet, sur lequel se base le malicieux jeu de mots de Laurent Schwartz : les suites ne peuvent plus "s'échapper", à la limite, de l'ensemble considéré.
L'exemple le plus simple est celui d'une suite de fractions rationnelles convergeant vers : elle vérifie le critère dans l'ensemble des rationnels Q, mais n' y converge pas: Q n'est pas complet. Ce qu'affirme Cauchy, c'est que cela ne peut se produire dans l'ensemble des réels R: R est, lui, complet. L'intérêt, déjà signalé par Schwartz dans son texte, est d'affirmer que des suites convergent sans connaître à l'avance leur limite; l'extension à des espaces de fonctions (ce n'est pas pour rien que Banach est considéré comme un des fondateurs de l'Analyse Fonctionnelle) ayant cette belle propriété est énorme: c'est ainsi que les mathématiciens peuvent fièrement affirmer que, dans de bonnes conditions, les équations différentielles ont des solutions sans avoir à les calculer!