PASCAL, Mathématicien


Pour des images et des informations sur les lieux de vie de Pascal (1623-1662), voir plutôt notre page Pascal ou la Vie Brève .

Jeune et Géomètre!

Premières Armes...

La précocité de Blaise est célèbre; elle est racontée par sa sœur Gilberte:

"Mon père était homme savant dans les mathématiques [...] mais comme il avait dessein d'instruire mon frère dans les langues, et qu'il savait que la mathématique est une science qui remplit et qui satisfait beaucoup l'esprit, il ne voulut point que mon frère en eût aucune connaissance, de peur que cela ne le rendit négligent pour la latine et les autres langues dans lesquelles il voulait le perfectionner. Par cette raison il avait serré tous les livres qui en traitent, et il s'abstenait d'en parler avec ses amis en sa présence mais cette précaution n'empêchait pas que la curiosité de cet enfant ne fût excitée"

"Mon frère, voyant cette résistance, lui demanda un jour ce que c'était que cette science, et de quoi on y traitait mon père lui dit en général que c'était le moyen de faire des figures justes, et de trouver les proportions qu'elles avaient entre elles, et en même temps lui défendit d'en parler davantageet d'y penser jamais. Mais cet esprit qui ne pouvait demeurer dans ces bornes, dès qu'il eut cette simple ouverture, que la mathématique donnait des moyens de faire des figures  infailliblement justes, il se mit lui-même à rêver sur cela à ses heures de récréation; et étant seul dans une salle où il avaitaccoutumé de se divertir, il prenait du charbon et faisait des figures sur des carreaux"  

Une petite statue, au Collège de France (don de la famille du sculpteur en 1937) prend pour sujet ses premiers exploits:


Le jeune Pascal résolvant un problème
Moreau-Vauthier, 1888

Poursuivons la narration de Gilberte:

"Il trouvait tout cela lui seul; [...]. Mais comme le soin de mon père avait été si grand de lui cacher toutes ces choses, il n'en savait pas même les noms. Il fut contraint de se faire lui-même des définitions [...] Après ces définitions il se fit des axiomes, et enfin il fit des démonstrations parfaites et comme l'on va de l'un à l'autre dans ces choses, il poussa les recherches si avant qu'il en vint jusqu'à la trente deuxième proposition du premier livre d'Euclide" (la somme  des angles d'un triangle plan vaut deux angles droits)

"Mon père fut si épouvanté de la grandeur et de la puissance de ce génie, que sans lui dire mot il le quitta, et alla chez M. le Pailleur, qui était son ami intime, et qui était aussi fort savant. Lorsqu'il y fut arrivé, il y demeura immobile comme un homme transporté. M. le Pailleur voyant cela, et voyant même qu'il versait quelques larmes, fut épouvanté et le pria de ne lui pas celer plus longtemps la cause de son déplaisir. Mon père lui répondit « Je ne pleure pas d'affliction, mais de joie. Vous savez les soins que j'ai pris pour ôter à mon fils la connaissancede la géométrie, de peur de le détourner de ses autres études cependant voici ce qu'il a fait. » Sur cela il lui montra tout ce qu'il avait trouvé, par où l'on pouvait dire en quelque façon qu'il avait inventé les mathématiques. "

Le Pailleur fait entendre à Etienne qu'il est temps de ne plus lui cacher les livres, afin qu'il utilise au mieux son esprit:

"Mon père ayant trouvé cela à propos, lui donna les Éléments d'Euclide pour les lire à ses heures de récréation. Il les vit et les entendit tout seul, sans avoir jamais eu besoin d'aucune explication et pendant qu'il les voyait, il composait et allait si avant qu'il se trouvait régulièrement aux conférences qui se faisaient toutes les semaines, où tous les habiles gens de Paris s'assemblaient [...] Mon frère y tenait fort bien son rang, tant pour l'examen que pour la production car il était de ceux qui y portaient le plus souvent des choses nouvelles. On voyait souvent aussi dans ces assemblées-là des propositions qui étaient envoyées d'Italie, d'Allemagne et d'autres pays étrangers [...] , et l'on prenait son avis sur tout avec autant de soin que de pas un des autres car il avait des lumières si vives, qu'il est arrivé quelquefoisqu'il a découvert des fautes dont les autres ne s'étaient point aperçus. "

On aura bien sûr reconnu les réunions de l'Académie de Mersenne.

... et Premier Chef d'œuvre! 

Pascal a 16 ans quand il compose son premier travail personnel, l'Essay pour les Coniques. L'essentiel en est perdu, notamment les preuves... Subsiste une page et quelques commentaires de Leibniz, qui vit le fascicule complet, mais dont il est certain qu'il était - si l'on ose dire - très... elliptique!

à voir  sur le site de la BnF  ( gallica.bnf.fr )

Mersenne suit ses habitudes: il se fait propangandiste du nouvel opus, en vantant auprès de tous ses correspondants la pièce et son auteur.
Descartes suit aussi les siennes, en le prenant d'un peu haut :
"Avant d'avoir lu la moitié de l'essai, j'ai reconnu, dit-il, que l'auteur a appris de M. Desargues, ce qui a été confirmé incontinent par la confession qu'il en fait."

Pascal ne confesse rien; il rend seulement à Desargues ce qui est à Desargues:
"Nous démontrerons aussi (fig.1) la propriété suivante, dont le premier inventeur est M. Desargues, Lyonnois, un des grands esprits de ce temps, et des plus versés aux mathématiques, et entre autres aux coniques, dont les écrits sur cette matière, quoiqu'en petit nombre, en ont donné un ample témoignage à ceux qui auront voulu en recevoir l'intelligence. Je veux bien reconnaître que je dois le peu que j'ai trouvé sur cette matière à ses écrits, que j'ai tâché d'imiter, autant qu'il m'a été possible, sa méthode sur ce sujet   [...] en traitant généralement de toutes les sections du cône."

Il faut bien savourer son "à ceux qui auront voulu en recevoir l'intelligence" : c'est que Desargues est tout sauf  facile à suivre, que ce soit pour ses contemporains ou pour ses successeurs... ce n'est pas un hasard s'il est longtemps resté dans l'oubli! La chose est réservée à des esprits d'exception, et, grâce à l'Académie de Mersenne, les paroles de Desargues trouvent les oreilles et le cerveau d'un jeune homme capable d'en tirer profit.
Leibniz est sans doute plus honnête:
"Cependant il faut avouer qu'il avait poussé les choses plus loin."
Car il y a chez Pascal un théorème qu'il n'y a pas dans Desargues. C'est celui que ce même Leibniz nommera hexagramme mystique ; nous n'avons aucune trace de cette expression sous la plume de Pascal, à qui pourtant Leibniz l'attribue, dans une lettre à son neveu Périer ( 30/08/1676). Quant à Desargues, il savait lui aussi rendre à Pascal ce qui est à Pascal, et il nommait cette proposition La Pascale !

Ce théorème, dont Blaise est légitimement fier (Toujours enthousiaste, Mersenne écrit en 1644, dans sa préface au lecteur de l'Hydraulique des Cogitata Physico-Mathematica, qu'il en a "tiré 400 corollaires qui renferment l'essentiel des Coniques d'Apollonius de Pergé" ) s'énonce ainsi:

Si un hexagone quelconque ABCDEF (pas nécessairement convexe!) est inscrit dans une conique quelconque, les intersections des côtés n'ayant aucun sommet commun Y = AB DE, Z = BC  EF, X = CD ∩FA sont alignés.

Le Théorème de " l'Hexagramme Mystique"

Ce qu'il peut avoir de mystique, et qui fascine également le mathématicien et le profane, c'est l'universalité du résultat: les points peuvent être agencés n' importe comment, le résultat demeure. Vous doutez, vous avez raison! Voici deux monstrations, l'une en vidéo, l'autre où vous manipulez vous-même... de quoi vous convaincre des faits, en tout cas, commencer à croire au résultat.

Théorème de Pascal sur le cercle:
Sur cette page de Tom Getty (Michigan State University), une animation Java vous permet de déplacer à volonté un point (bleu) de l'Hexagramme. Les points rouges restent alignés: jouez!
En vidéo:

Le point fléché est déplacé; la conique est progressivement déformée...

On peut expliquer ça à de très jeunes enfants, donc à n'importe lequel des lecteurs de cette page, ... s'il comprend un peu l'Anglais: voir ce film . On part d'un théorème similaire, le Théorème de Pappus, dans lequel deux droites remplacent le cercle. Il n'est d'ailleurs pas impossible que Pascal ait médité ce résultat, et qu'il ait eu l'idée qu'il fonctionnait aussi dans le cas du cercle...Vous retrouverez ces deux théorèmes côte à côte dans notre dans notre page Poncelet.

Mais comment faire une DÉmonstration ? Justement, on n'a aucune certitude sur celle de Pascal, mais on peut raisonnablement penser qu'il a procédé en deux temps:
  1. la preuve dans le cas du cercle (comme dans la figure ci-dessus);
  2. la déduction pour toutes les coniques (ellipse, parabole, hyperbole) par perspective conique: elle est là, la grande idée de Desargues, que Pascal a immédiatement assimilée et qu'il exploite aussitôt, que Carnot relaiera, et qu'enfin Poncelet érigera en une nouvelle géométrie, en 1813: la Géométrie Projective! ( voir notre page dédiée, où l'on retrouvera en vedette ce théorème et sa démonstration...). 
Voir à cet endroit de notre page Desargues plus de détails (en quelques dessins) sur cette méthode.

Et le tourisme, dans tout ça, nous direz-vous? Ne sommes nous pas en train de beaucoup nous en éloigner? Détrompez-vous:

Ce théorème est gravé dans la lave d'Auvergne, et figura sur un monument d'hommage à Pascal à Clermont-Ferrand, place Lemaigre, près de la cathédrale -et, en fait, de la maison natale de Pascal, sauvagement détruite en 1900.
Ce monument, œuvre de Gustave Gournier, inauguré en  1962, pour le tricentenaire de sa mort, n'est plus visible  aujourd'hui!  Voir dans notre page Pascal ou la Vie Brève une vue globale et plus de détails sur cette incroyable situation...
Mais  le Mathouriste  est heureux de vous l'offrir en grande première exclusive sur la toile, pour le 350ème anniversaire du décès de Pascal: 

Partie du monument consacrée aux travaux mathématiques de Pascal Détail de "la Pascale", comme l'appelait Desargues...

Cela lui tenait particulièrement à cœur, car il y fut envoyé en  pélerinage, à l'issue de son premier devoir surveillé en Mathématiques Supérieures.... au lycée Blaise Pascal de Clermont-Ferrand!


Mais au fait... quel était donc cet énoncé?
Un sujet du Bac C de 1969 ( " 69, année des Coniques ", aurait pu  dire Serge Gainsbourg...  )

Les curieux, nostalgiques, gens de goût ou mathématiciens avisés auront sûrement envie d'en savoir plus, de comparer aux sujets actuels, aux non moins actuelles capacités d'un élève entrant tout fringant en Mathématiques Supérieures,  et de faire l'incroyable  constat qu'un énoncé de 4h pouvait alors tenir sur une page tirée en Stencil alcool!

Des Annales à... 4,20F pour préparer le bac en 1970 Le sujet du premier DS (1970-71) ...
pas de photocopie en ce temps-là!
Avez vous envie d'en savoir plus?  D'en voir des éléments de preuve, les ressorts cachés, d'autres idées pour établir La Pascale?
Si oui, rendez vous sans plus attendre sur notre page dédiée: Pascal et la Pascale !



Intermèdes Arithmétiques

Et puis, le jeune Blaise bricole, pour aider Papa à encaisser les impôts et tenir sa comptabilité. C'est l'invention de sa fameuse machine à calculer, depuis affectueusent dénommée Pascaline. Il en construisit de nombreux prototypes; actuellement 8 machines d'origine sont recensées dans le monde, dont 4 au Musée des Arts & Métiers (Paris), 2 au Musée Lecoq de Clermont-Ferrand. De nombreuses répliques en fac-simile existent de par le monde (par exemple, Arithmeum de Bonn, Science Museum à Londres...)




Une des quatre machines conservées au Musée des Arts & Métiers Représentée sur le monument de Gournier à Clermont...


S'il a publié ses théorèmes de Géométrie "à la Fermat", sans démonstration, il se sent obligé (prudence pour endiguer toute méfiance contre la nouveauté?) de l'accompagner d'une LETTRE DEDICATOIRE à Monseigneur le Chancelier, sur le sujet de la machine nouvellement inventée par le sieur B.P. pour faire toutes sortes d'opérations d'arithmétique par un mouvement réglé sans plume ni jettons (sic), et d'une notice descriptive: ADVIS Nécessaire à ceux qui auront curiosité de voir la dite Machine et de s'en servir...

dédicace: premire page avis: première et dernière page
Sources: Bibliothèque du Patrimoine (Clermont), Bibliothèque de l'Institut (Paris) via BibNum


Gilberte témoigne:
"Ce travail le fatigua beaucoup, non pas pour la pensée ou pour le mouvement qu'il trouva sans peine, mais pour faire comprendre aux ouvriers toutes ces choses. De sorte qu'il fut deux ans à le mettre dans cette perfection où il est à présent. Mais cette fatigue et la délicatesse où se trouvait sa santé depuis quelques années, le jetèrent dans des incommodités qui ne l'ont plus quitté; de sorte qu'il nous disait quelquefois que.depuis l'âge de dix-huit ans il n'avait pas passé un jour sans douleur."

Une lettre de Belair à Huyghens (1659)  - on la trouve par exemple dans l'édition chronologique des Œuvres de Pascal par Brunschwicg et Boutroux (téléchargeable ici) - donne trois schémas soignés de la machine et des explications sur son fonctionnement.

Diderot ne manque pas de la décrire dans l'Encyclopédie (voir Œuvres de Pascal, t4, sur Gallica); on trouvera, si l'on préfère, des présentations technologiquement plus avancées, et de qualité, dans les liens suivants:
Plus insolite, Pascal se révèle... Auvergnat avisé, qui ne perd pas le sens des affaires! Il se fait octroyer un Privilège Royal lui garantissant l'exclusivité de la fabrication et de la distribution. Petit extrait :

"À ces causes, désirant gratifier et favorablement traiter le dit Pascal fils, en considération de sa capacité en plusieurs sciences, et surtout aux mathématiques, et pour l'exciter d'en communiquer de plus en plus les fruits à nos sujets, et ayant égard au notable soulagement que cette machine doit apporter à ceux qui ont de grands calculs à faire, et à raison de l'excellence de cette invention, nous avons permis et permettons par ces présentes signées de notre main, au dit sieur Pascal fils, et à ceux qui en auront le droit de lui, dès à présent et à toujours, de faire construire et fabriquer par tels ouvriers, de telle matière et en telle forme qu'il avisera bon être, en tous les lieux de notre obéissance, le dit instrument par lui inventé [...], et faisons très-expresses défenses à toutes personnes, artisans et autres, de quelque qualité et condition que ce soit, d'en faire, ni faire faire, vendre, ni débiter dans aucun lieu de notre obéissance, sans le consentement dudit Pascal fils, ou de ceux qui auront droit de lui [...], même à tous étrangers, tant marchands que d'autres professions, d'en exposer ni vendre en ce royaume, quoiqu'ils eussent été faits hors d'icelui: le tout à peine de trois mille livres d'amende, payable sans déport par chacun des contrevenants, et applicables un  tiers à  nous, un tiers à l'Hôtel-Dieu de P    aris, et l'autre tiers audit sieur Pascal, ou à ceux qui auront son droit; de confiscation  des instruments cotrefaits, et de tous dépens, dommages et intérêts."



à lire intégralement sur BibNum (image du manuscrit) ou dans les Œuvres de Pascal, t4 (sur Gallica)

D'ailleurs, à acheter des contefaçons, on risque des déboires, c'est bien connu... dès le temps de Pascal, qui met en garde dans son Avis:

"Cher lecteur, j'ai sujet particulier de te donner ce dernier avis, après avoir vu de mes yeux une fausse exécution de ma pensée, faite par un ouvrier de la ville de Rouen, horloger de profession, lequel, sur le simple récit qui lui fut fait de mon premier modèle que j'avais fait quelques mois auparavant, eut assez de hardiesse pour en entreprendre un autre, et, qui plus est, par une autre espèce de mouvement; mais, comme le bonhomme n'a autre talent que celui de manier adroitement ses outils, et qu'il ne sait pas seulement si la géométrie et la mécanique sont au monde aussi (quoiqu'il soit très habile dans son art, et même très industrieux en plusieurs choses qui n'en sont point) ne nt-il qu'une pièce inutile, propre véritablement, polie et très bien limée par le dehors, mais tellement imparfaite au dedans qu'elle n'est d'aucun usage. "

Une dernière fois, Géomètre: la Cycloïde

Les statues représentant Pascal ne sont pas rares, mais l'une d'elles occupe une place véritablement unique. Elle se trouve au Louvre, et bien sûr le Mathouriste lui a rendu une affectueuse visite...
Ce marbre d'Augustin Pajou fut présenté au Salon de 1785.




À ses pieds, ses travaux littéraires; sur les feuillets épars on lit "Pensées sur la Religion" (agrandir en cliquant l'image de gauche!)

À quoi rêve donc Pascal? Quel objet prioritaire est celui de sa méditation, dans l'instant capté par l'artiste?
Tournons doucement autour du héros pour le découvrir...






Mais oui! Sa vedette est une courbe géométrique: la Cycloïde, ou, comme il l'appelait, la Roulette.
Quand il s'y intéresse, en 1658, voilà longtemps qu'il n'a plus rien publié en Mathématiques; il est retiré en religion et sa production est exclusivement littéraire: Pensées et Lettres,  toutes ces choses qu'il vient de délaisser brutalement, nous suggère Pajou, pour reprendre la Géométrie. Le lvret de l'exposition de 1785 présentait les choses ainsi, orthographe curieuse garantie authentique (pourrait-on l'inventer?):
"Pascal paraît occupé de la Sicloyde tracée sur une table qu'il tient de la main gauche, à ses pieds sont des feuilles éparses contenant ses pensées, à droite , un livre ouvert où sont les Lettres."



Augustin Pajou (1730-1809), auteur de la statue de Pascal.
 Selon les codes de son époque, il a "résumé" dans une seule sculpture les divers domaines d'activité du personnage étudié.

Buste par son contemporain et élève Philippe-Laurent Roland (1746-1816)

Terre cuite (1797), Musée du Louvre, Paris.


Marguerite Périer, sa nièce, a rapporté, dans ses Mémoires sur son oncle, une anecdote largement passée à la postérité:

"il arriva qu'il lui vint un très-grand mal de dents. Un soir M. le duc de Roannez le quitta dans des douleurs très-violentes il se mit au lit, et son mal ne faisant qu'augmenter, il s'avisa, pour se soulager, de s'appliquer à quelque chose qui pût lui faire oublier son mal. Pour cela, il pensa à la proposition de la Roulette faite autrefois par le P. Mersenne,que personne n'avait jamais pu trouver et à laquelle il ne s'était jamais amusé. Il y pensa si bien qu'il en trouva la solution et toutes les démonstrations. Cette application sérieuse détourna son mal de dents, et quand il cessa d'y penser il se sentit guéri de son mal. M.de Roannez étant venu le voir le matin, et le trouvant sans mal, lui demanda ce qui l'avait guéri. Il dit que c'était la Roulette qu'il avait cherchée et trouvée"

Voici donc le moment de présenter cette courbe, son histoire, et son lien avec Pascal.

Qu'est ce qu'une cycloïde?

Le dispositif suivant, présenté dans l'exposition Au delà du Compas, la Géométrie des Courbes conçue par F. Conti (Scuala Normale Supériore, Pise) et E. Giusti (Université de Florence)  permet à tout un chacun d'en faire l'expérience:



Sur un disque, on marque un point du bord (en rouge). On fait rouler sans glisser le disque sur la règle en bois du bas (celle du haut ne sert qu'à caler le dispositif!) : le point, fixe sur le disque, décrit sur le fond une courbe en arches successives (un tour complet de la roue correspond à une arche).  Ou, comme le dit Pascal:

"La roulette est une ligne si commune qu'après la droite et la circulaire, il n'y en a point de si fréquente; et elle se décrit si souvent aux yeux de tout le monde, qu'il y a lieu de s'étonner qu'elle n'ait point été considérée par les anciens, dans lesquels on ne trouve rien: car ce n'est autre chose que le chemin que fait en l'air le clou d'une roue, quand elle roule de son mouvement ordinaire, depuis que ce clou commence à s'élever de terre, jusqu'à ce que le roulement continu de la roue l'ait rapporté à terre, après un tour entier achevé. "



Autrement dit, c'est ce que voit un spectateur immobile de la valve d'une roue de bicyclette en mouvement uniforme.
On peut voir des animations (et une étude mathématique complète) sur le site de Robert Ferréol, www.mathcurve.com  ou au musée Galilée de Florence.

Elle n'était pas connue des Grecs, qui, pourtant, avaient basé toute leur astronomie sur le mouvement analogue cercle sur cercle (la règle basse est remplacée par un contour circulaire); il est vrai qu'ils n'ont pas exhibé les courbes du mouvement, qui ne leur étaient pas utiles en soi.

Petite histoire de la Cycloïde

Pascal lui-même s'est chargé d'en écrire une, faisant le point avant son intervention, en quelque sorte. Ce texte est daté du 10 Octobre 1658



Histoire de la Roulette et... Suite de l'Histoire
(source des images: Gallica (BnF); les liens pointent vers le texte intégral de chaque document)

On y retrouve, sans surprise, les protagonistes du débat sur le vide... les physiciens sont aussi mathématiciens! Lisons donc Pascal:

"Le Feu Père Mersenne, minime, fut le premier qui la remarqua environ l'an 1615, en considérant le roulement des rouës, ce fut pourquoi il l'appela la Roulette. Il voulut ensuite en reconnoître la nature et les propriétés, mais il ne put y pénétrer. [...]
Il proposa donc la recherche de la nature de cette ligne à tous ceux de l'Europe qu'il en crut capables, entre autres à Galilée; mais aucun ne put y réussir, et tous en désespérèrent."

Au fait, quelles propriétés d'une courbe cherche-t-on? Et à quelles techniques modernes se rattachent-elles?
Les trois principales sont:
Générales Cycloïde Type (moderne) du problème
Aire entre une arche et la base calcul intégral
Longueur d'une arche calcul intégral
Tangente en point en un point quelconque de la courbe calcul différentiel

Oui, mais.... le calcul différentiel et intégral ne sera inventé qu'un peu plus tard, par la génération suivante de mathématiciens: Newton, Leibniz. Il faut donc faire preuve de beaucoup d'ingéniosité; l'un des procédés les plus courants alors est la Méthode des Indivisibles de Cavalieri: c'est, en gros, celle que va employer le premier vainqueur, Roberval, en 1634, pour la question de l'aire:

"En effet M. de Roberval y réussit; il démontra que l'espace de la roulette est triple de la roue qui la forme. [...] Il dit au père que sa question étoit résolue, et lui déclara même cette raison triple, en exigeant néanmoins qu'il la tienne secrète durant un an, pendant lequel il proposeroit de nouveau cette question à tous les géomètres.

Le père, ravi de ce succès, leur écrivit à tous, et les pressa d'y repenser, en leur ajoutant que M. 
de Roberval l'avait résolue, sans leur dire comment.
L'année et plus étant passée, sans qu'aucun en eût trouvé la solution, le père leur écrivit pour la troisième fois, et leur déclara alors la raison de la roulette à la roue, comme 3 à 1. En 
1635, sur ce nouveau secours, il s'en trouva deux qui donnèrent la démonstration: on reçut leurs solutions presque en même temps, l'une de M. de Fermat, conseiller au parlement de Toulouse, l'autre de feu M. Descartes, et toutes deux différentes l'une de l'autre, et encore de celle de M. Roberval."

Voilà un style typique des correspondances de ce siècle, qui perdurera aux débuts du calcul infinitésimal: celui du défi. On annonce avoir trouvé, on met les autres au défi d'en faire autant, et, grand seigneur (ou malicieux), quand ils sèchent, on les aide d'un petit renseignement supplémentaire (ici, la solution du problème de l'aire)...
Pascal mentionne alors la résolution de la question des tangentes, à nouveau par Roberval: 

"Ainsi, la chose devint publique, et il n'y eut personne en France, de ceux qui se plaisent à la géométrie, qui ne sût que M. de Roberval étoit l'auteur de cette solution, à laquelle il en ajouta en ce même temps deux autres: l'une [...], l'autre, l'invention des touchantes à cette ligne, par une méthode qu'il trouva alos, et qu'il divulga incontinent, laquelle est si générale, qu'elle s'étend aux touchantes de toutes les courbes: elle consiste en la composition des mouvements."

C'est ensuite le Pascal polémiste à l'humour cinglant -bref, l'auteur des Provinciales!- que l'on retrouve dans la suite de son histoire: 

"En  1638, feu M. de Beaugrand envoya [les solutions de Roberval et Fermat] à Galilée, sans en nommer les auteurs [...]. Galilée mourut peu après, et M. de Beaugrand aussi. Torricelli succéda à Galilée, et tous ces papiers lui étant venus entre les mains, il crut qu'il y avoit assez de temps passé pour faire que la mémoire en fût perdue, et ainsi il pensa à en profiter.
Il fit donc imprimer son livre en 1644, dans lequel il attribue à Galilée ce qui est dû au père Mersenne, d'avoir formé la question de la roulette; et à soi-même ce qui est dû à
M. de Roberval , d'en avoir donné le premier la résolution: en quoi il fut non seulement inexcusable, mais encore malheureux; car ce fut un sujet de rire en France, de voir que Torricelli s'attribuoit en 1644, une invention qui étoit publiquement et sans contestation reconnue depuis huit ans pour être de M. de Roberval, et dont il y avoit, outre une infinité de témoins vivants, des témoignages imprimés, et entre autres un écrit de M. Desargues, imprimé à Paris au mois d'août 1640, avec privilège, où il est dit, que la roulette est de M. de Roberval, et que la méthode de maximis et minimis est de M. de Fermat."

Certains auteurs affirment toutefois que Galilée avait posé le problème avant Mersenne, vers 1600, voire même 10 ans plus tôt, en l'appliquant aux arches de ponts...  On apprécierait une source précise de ce point. Ne se contentent-ils pas de reproduire ce qu'écrit d'Alembert dans l'Encyclopédie?

"La cycloïde est une courbe assez moderne ; & quelques personnes en attribuent l'invention au P. Mersenne, d'autres à Galilée ; mais le docteur Wallis prétend qu'elle est de plus ancienne date ; qu'elle a été connue d'un certain Bovillus vers l'année 1500, & que le Cardinal Cusa en avoit même fait mention long-tems auparavant, c'est-à-dire avant l'an 1451.
Il est constant, remarque M. Formey, que le P. Mersenne divulgua le premier la formation de la cycloïde, en la proposant à tous les géomètres de son tems, lesquels s'y appliquant à l'envi, y firent alors plusieurs découvertes; en sorte qu'il étoit difficile de juger à qui étoit dû l'honneur de la premiere invention. Delà vint cette célebre contestation entre MM. de Roberval, Toricelli, Descartes, Lalovera, &c. qui fit alors tant de bruit parmi les savans."

Pascal et la Cycloïde


Évasif sur les circonstances de sa méditation -plus que sa nièce, en tout cas- voici comment Pascal introduit sa propre contribution au sujet. Il s'agit encore de questions qu'on réglera après par l'emploi du calcul intégral: la détermination de divers centres de gravité de portions de courbes ou de surfaces dans lesquels intervient la fameuse courbe.

"La connaissance de la roulette ayant été portée jusque-là par M. de Roberval, la chose étoit demeurée en cet état depuis quatorze ans; lorsqu'une occasion imprévue m'ayant fait penser à la géométrie que j'avois quittée il y avoit longtemps, je me formai des méthodes pour la dimension et les centres de gravité des solides, des surfaces planes et courbes, auxquelles il me sembla que peu de choses pourroient échapper: et pour en faire l'essai sur un sujet des plus difficiles, je me proposai ce qui restait à connoître de la nature de cette ligne; savoir les centres de gravité de ses solides, et des solides de ses parties , la dimension et les entres de gravité des surfaces de tous ces solides. [...]"

Fidélité à la tradition des défis? Raison de polémique religieuse comme le rapporte sa nièce?

"M. de Roannez lui dit qu'il y avait bien un meilleur usage à en faire; que dans le dessein où il était de combattre les athées, il fallait leur montrer qu'il en savait plus qu'eux tous en ce qui regarde la géométrie et,ce qui est sujet à la démonstration et qu'ainsi s'il se soumettait à ce qui regarde la foi, c'est qu'il savait jusques où devaient porter les démonstrations et sur cela, il lui conseilla de consigner soixante pistoles et de faire une espèce de défi à tous les mathématiciens habiles qu'il connaissait et de proposer ce prix pour celui qui trouverait la solution du problème."

Marguerite Périer
Toujours est-il que Pascal lance lui aussi un défi, et redouble de malice en le faisant, plutôt que sous son identité propre, sous un nom d'emprunt. Et pas n'importe lequel: Amos Dettonville, c'est-à-dire un anagramme de Louis de Montalte... son pseudonyme d'auteur des Provinciales

Les contributions viennent effectivement de toute l'Europe -du "réseau Mersenne". En particulier, l'architecte de Saint-Paul à Londres, Cristopher Wren, dont il ne faut pas oublier qu'il fut aussi mathématicien, se distingue en résolvant le problème de la longueur.... que Pascal n'avait pas posé, quoiqu'il ne fut pas encore résolu. Il ne manque pas de le saluer élogieusement:

"Elles sont de deux sortes. Les unes prétendent d'avoir résolu les problèmes proposés, et ainsi avoir droit aux prix; [...] Les autres n'ont point voulu prétendre à ces solutions, et se sont contentés de donner leurs premières pensées sur cette ligne.
J'ai trouvé de belles choses dans leurs lettres, et des manières fort subtiles de mesurer le plan de la roulette, et entre autres dans celles de M. de Sluze, chanoine de la cathédrale de Liège; de M. Richi, Romain; de M Huguens
, Hollandois [...]
Mais entre tous les écrits qu'on a reçus de cette sorte, il n'y a rien de plus beau que celui qui a été envoyé par M. Wren; car outre la belle manière qu'il a de mesurer le plan de la roulette, il a donné la comparaison de la ligne courbe même et de ses parties avec la ligne droite: sa proposition est que la ligne de la roulette est quadruple de son axe, dont il a envoyé l'énonciation sans démonstration. Et comme il est le premier qui l'a produite, c'est sans doute à lui que  l'honneur de la première invention
en appartient."

Mais personne ne résoud les problèmes, et Dettonville publie sa solution.

Un exemplaire... adjugé chez Christie's New York pour 90 500 $ (Juin 1998)

Voici ce qu'en dit sa nièce:
" M.Pascal le crut et consigna les soixante pistoles entre les mains de M ****, nomma des examinateurs pour juger des ouvrages qui viendraient de toute l'Europe et fixa le temps à dix-huit mois au bout desquels personne n'ayant trouvé la solution suivant le jugement des examinateurs, M. Pascal retira ces soixante pistoles et les employa à faire imprimer son ouvrage dont il ne fit tirer que cent-vingt exemplaires."

Marguerite Périer

En écrivant à Huyghens, le 6 Janvier 1659, Pascal entretient encore -jeu?- le mystère, et se retranche derrière les problèmes techniques de la poste pour ne dévoiler, dans un premier temps, qu'une partie des informations:

" Tout ce que je puis est de vous envoyer autant qu'il vous plaira d'exzmplaires du Traité de la Roulette, où l'anonyme a résolu les problèmes qu'il avait lui-même posés. Je ne vous en mets ici que qulques avant-coureurs, car le paquet serait trop gros pour la poste. Je m'informerai de nos libraires de la voie qu'il faut tenir pour en envoyer commodément."

N'y voyons aucune rétention de l'information scientifique, mais une petite jouissance à exciter la curiosité de son correspondant. Un de ces jésuites qu'il combattit infatigablement eût-il mieux tourné l'argument? Pas sûr... Huyghens, apparamment pas dupe, entre dans le jeu et répond le 5 Février " à Monsieur Pascal, sieur d'Ettonville"!


Pajou semble n'avoir pas bien observé la verticalité des tangentes aux extrémités de l'arche...  et... Gournier non plus!

Il semble que le monument Clermontois évoque la propriété de Roberval: étant donnée l'aire du disque qui roule, on la double en considérant un demi-cercle de rayon double, puis on la triple avec la roulette!

Actualité (2010):

Un manuscrit mathématique (en fait, un brouillon) de Blaise Pascal a été découvert parmi ceux des Pensées récemment par Dominique Descotes, professeur à l'université de Clermont-Ferrand-CNRS. C'est la seule trace écrite des preuves lié aux travaux sur la  roulette dans les Lettres de A. Dettonville.
En savoir plus: Chroniques de la BnF, n°56, p24 (2010).

Une Note Amusante -ou pathétique, pour finir:

Le titre Histoire de la Roulette, joint à l'intérêt de Pascal pour le Calcul des Probabilités dans les jeux de hasard, a égaré plus d'un auteur de page web... C'est ainsi qu'on lit en de nombreux endroits que la roulette (jeu de casino) a été inventée par Pascal en 1655 (année de son Histoire de la Roulette, évidemment) alors qu'il semble plus raisonnable de la dater du XIXème siècle, en dépit d'ébauches plus anciennes de jeux du même genre. Mais en France, le mot n'apparait  pour la première fois qu'en 1716 (Hôtel de Soissons, Paris). On n'aura pas la cruauté d'en dénoncer un en particulier (encore que ceux qui affirment, dans leur délire euphorique, qu'il était alors à la recherche d'un mouvement perpétuel, le mériteraient bien!). On s'étonnera presque qu'aucun n'ait fait le lien entre la fameuse rage de dents... et l'instrument du dentiste.

La Cycloïde après Pascal

L'histoire de la courbe ne s'arrête cependant pas là: deux autres problèmes,issus de la mécanique, totalement indépendants de la définition géométrique donnée, vont mener à sa rencontre; par ordre d'apparition: celui de la courbe tautotochrone.  celui de la courbe brachystochrone

Retour n°1: la Tautochrone

C'est justement en Décembre 1659 que Huyghens (qui, rappelons le, a échangé des lettres avec Pascal sur la cycloïde depuis le début de l'année) découvre deux propriétés, l'une géométrique, l'autre mécanique, de la cycloïde dont il pense tirer parti pour améliorer les horloges à pendule. En effet, on saitdepuis 1638 (Mersenne) que les oscillations d'un pendule classique ont une période qui dépend de l'amplitude initiale, sauf dans le cas des petites oscillations (mais ce n'est qu'une approximation); d'autre part, l'amortissement pose le problème de la manière d'entretenir les oscillations (poids, puis ressorts)
  1. Géométrie:  les normales à la cycloïde sont elles-même tangente à une cycloïde de mêmes dimensions (mathématiquement, on dit que la développée d'une cycloïde est une autre cycloïde). Sa démonstration est purement géométrique .
  2. Mécanique: si l'extrémité d'un pendule décrit une cycloïde, ses oscillations sont isochrones, c'est à dire indépendantes de l'amplitude. On dit que la cycloïde est une courbe tautochrone.  En ce cas, l'amortissement n'et plus un problème! 
La propriété géométrique donne une moyen d'avoir ce résultat Il suffit pour cela que le fil soit guidé par deux joues cycloïdales: Huyghens, qui d'abord avait pensé à des joues circulaires, rélise le parti qu'il peut tirer de l'Histoire de la Roulette que lui a communiqué Pascal!



Dans l'Asstronomie Populaire
de François Arago .
Démonstration animée par G.Tulloue (Université de Nantes)
Partant de position choisies par le lecteur (cliquer sur RaZ, dépklacer les boules), les deux pendules se croisent toujours sur la ligne!

Voici des images de Huyghens lui-même, montrant les fameuses joues.



Croquis manuscrits de Huyghens (Œuvres); figure in Horologium oscillatorium sive de motu pendularium (1673)

Noter que le problème résolu était (relativement!) facile: partir de la cycloïde, et constater qu'elle a ses propriétés.
Il aurait été bien plus redoutable
 - de poser le problème "chercher les courbes ayant cette propriété" (sans idée préalable du résultat);
 - de prouver que c'est la seule courbe ayant cette propriété

C'est précisément un problème de ce type que l'on va rencontrer maintenant, et, comme on va le constater, la non-connaissance a priori de la solution va rendre le travail bien plus périlleux.
De plus, pour aller au delà de deviner le résultat, l'outil du calcul différentiel sera indispensable.

"It was in the left hand try-pot of the Pequod, with the soapstone diligently circling round me, that I was first indirectly struck by the remarkable fact, that in geometry all bodies gliding along the cycloid, my soapstone for example, will descend from any point in precisely the same time."
Herman Melville, Moby Dick,1851
Cette référence littéraire vous surprend? Lisez cet article de Michèle Audin (site Images des Mathématiques, CNRS)

Retour n°2: la Brachystochrone


Il s'agit de découvrir la courbe de plus rapide descente entre deux points fixés: quelle forme donner au toboggan pour être le premier en bas? Là, pas de toute: Galilée est le tout premier à aborder le problème, en 1635. Mais si Pascal ne le mentionne pas, il y a une bonne raison: à ce moment là, la cycloïde est totalement hors jeu!

"Au premier coup d'œil, on est porté à croire que la ligne droite, comme le plus court chemin d'un point à l'autre, doit être aussi le chemin de la plus vite descente; mais le géomètre attentif s'abstient de prononcer, lorsqu'il considère que, dans une courbe concave, décrite d'un point à l'autre, le mobile descend d'abord plus verticalement, et acquiert par conséquent une plus grande vitesse que sur le simple plan incliné, ce qui produit une compensation et peut faire arriver le corps plus promptement suivant la ligne courbe que suivant la ligne droite. La métaphysique seule ne peut donc pas résoudre la question, et il fallait absolument recourir à un calcul précis."
Ch. Bossut, Histoire des Mathématiques, t2 (Paris, 1810)

La fausse solution de Galilée:

Elle figure dans son étude du mouvement uniformément accéléré, dans la "troisième journée" de ses Discours sur deux Sciznces Nouvelles. Elle commence par une preuve, tout à fait correcte, comparant les temps mis pour joindre les deux extrémités de la corde sous-tendant un quart de cercle et d'une ligne brisée de deux segments.
"Si du point le plus bas d'un cercle vertical on élève un plan incliné sous-tendant un arc égal à un quadrant, et si des extrémités de ce plan on mène deux autres plans vers un point quelconque de l'arc, alors le temps de descente le long de ces deux derniers pris ensemble sera plus bref que sur le premier plan, ou que sur l'un des deux seulement, à savoir le plan inférieur"

Avec les notations de la figure, le temps de parcours de DB puis BC est plus court que le long de DC.
(les autres notations et construction servent à sa preuve géométrique)
frontispice Proposition et figure associée
C'est ensuite que les choses se gâtent:

"SCHOLIE:
D'après les démonstrations précédentes, il semble possible de conclure que le mouvement le plus rapide entre deux points n'a pas lieu entre la ligne la plus courte, soit la droite, mais par un arc de cercle."


Galilée partage le quart de cercle en arcs égaux, AD, DC,...GC. Le résultat acquis lui permet de dire que l'on va plus vite le long de AD puis DC que selon AC;

"Mais si le mobile part du repos en A, il parcourt plus rapidement DC que les deux cordes AD et DC, et partant toujours du repos en A, il est vraisemblable qu'il descend plus vite le long des deux cordes DE et EC que le long de DC seul; il franchit par conséquent plus rapidement les trois cordes AD,DE,EC, que les deux cordes AD et DC. [...]
et ainsi la descente a lieu plus rapidement le long des cinq cordes ADEFGC que
le long des quatre cordes ADEFC. On voit donc que plus on se rapproche de la circonférence en augmentant le nombre des côtés des polygones inscrits, plus le mouvement s'accomplit rapidement entre les deux points donnés A et C.


D'abord, il y a le passage de 2 côtés à 3: on part de D avec une vitesse initiale, alors que sa comparaison pour AC et ADC se faisait à vitesse initiale nulle.
Et de toutes façons, le procédé de "passage à la limite géométrique", pour ingénieux qu'il soit (mais il remonte à Archimède)  peut tout juste prouver que la descente sur le cercle est plus rapide que sur tous les polygones, pas que c'est LA plus rapide! Elle minimise parmi un ensemble restreint de trajectoires possibles (polygones et cercle), pas parmi toutes les trajectoires possibles.


En 1697, Johann Bernoulli (1667-1748) pose le problème à ses pairs; il s'agit cette fois de tester la puissance du calcul différentiel naissant... et l'habileté de ceux qui le manient. Dans la forme,pas de différence avec l'époque de l'Académie de Mersenne, c'est un défi, à tous en général, à son frère Jakob (1654-1705) en particulier!

"Les sciences ont donc une obligation de la plus haute importance à Jean Bernoulli, d'avoir attiré l'attention des géomètres sur cette théorie générale, en leur proposant le problème de la Brachistocrone [...]."
"Leibniz résolut le problème le jour même qu'il reçut le programme de
Jean Bernoulli, à qui il donna aussitôt avis: tous deux convinrent de tenir leurs solutions cachées, et d'accorder un an aux autres géomètres pour s'exercer sur une si belle question. Ce délai fut annoncé dans les journaux et dans une feuille volante que  Jean Bernoulli envoya de tous côtés.
Il n'était pas encore expiré, lorsqu'outre les solutions de
Jean Bernoulli et de Leibnitz, il en parut encore trois autres, dont les auteurs étaient étaient Neuton [sic!], le marquis de l'Hôpital et Jacques Bernoulli. Celle de Neuton parut anonyme dans les Transactions Philosophiques de la Société Royale de Londres, mais  Jean Bernoulli devina l'auteur [...]. Le marquis de l'Hôpital eut beaucoup de mal à trouver la sienne [...]. Enfin Jacques Bernoulli donna, avant l'expiration du terme prescrit par son frère, une solution où il démontre que la courbe demandée est un arc de cycloïde."

Ch. Bossut, Histoire des Mathématiques, t2 (Paris, 1810)



Dispositif montrant que la cycloïde "bat la droite": deux billes sont lâchées simultanément par un volet, en haut de l'appareil. On juge l'arrivée en un point bas réglable... il n'y a vraiment pas photo!
(conçu et réalisé par E. Giusti et F. Conti pour l'exposition
Au delà du Compas. )
La solution... intuitive de Johann Bernoulli:
La solution initiale de Johann Bernoulli repose sur une idée classique en calcul intégral: découper le plan en fines lamelles (discrétisation, puis passage à la limite) dans lesquelles la trajectoire est si petite qu'on peut considérer que c'est un segment.
Mais comment passer d'une tranche à l'autre? Il a l'idée d'appliquer les lois de la réfraction de Snellius et Descartes, parce qu'elles guident la lumière dans les milieux inhomogènes, selon le principe d'optimalité de Fermat:
"si nous voulions employer dans cette recherche ce principe si commun et si établi que la nature agit toujours par les voies les plus courtes, nous pourrions facilement y trouver notre compte."

Ce n'est donc qu'une analogie ingénieuse entre deux problèmes d'optimisation, l'un optique, l'autre mécanique... mais elle lui fournit la solution!

La solution initiale de Jakob Bernoulli était meilleure, il en était persuadé, et comme sur un terrain de rugby, le défi entre gentlemen... vira à la bagarre!

"La rivalité de gloire qui divisait depuis longtemps les frères Bernoulli se déploya toute entière en cette occasion: elle avait été d'abord un peu tempérée par l'habitude de se voir, au moins de temps en temps, et par l'entremise d'amis communs; mais le cadet ayant été  nommé professeur de mathématiques à Groningue, en 1695, ils ne consevèrent bientôt plus de relations particulières; ils ne se parlaient plus que dans les journaux, et c'était poue se proposer les problèmes les plus difficiles. Jean Bernoulli était l'agresseur; mais peut-être son frère avait-il montré un peu trop de hauteur dans sa première réponse qu'il lui fit [...]. Dans ces dispositions, Jacques Bernoulli voulant enfin se venger d'une manière éclatante, mais en même temps utile à la géométrie, provoqua nomminativement son frère [...].

Ch. Bossut, Histoire des Mathématiques, t2 (Paris, 1810)

Johann, inconscient de ses propres insuffisances et du caractère beaucoup plus général de son frère, le "chambrait" sur son délai de réponse:

"Quelques difficiles que ces problèmes paraissent, je 'ai pas manqué de m'y attacher à l'instant même que je les ai reçus; mais voyez avec quel succès! Au lieu de trois mois que l'on me donne pour sonder le gué, et au lieu de tout le reste de cette année pour trouver la solution, je n'ai employé, en tout, que trois minutes de temps pour tenter, commencer et achever d'apporfondir tout le mystère."

Jakob était assez sûr de lui pour proposer des paris en espèce sonnantes; Johann rectifia sa solution en concédant "une trop grande précipitation", ce qui ne calma pas Jakob:

"Je prie mon frère de repasser tout nouveau sur sa dernière solution, d'en examiner attentivement tous les points, et de nous dire ensuite si tout va bien, lui déclarant qu'après que j'aurai donné la mienne, les prétextes de précipitation ne seront plus écoutés"

Le ton monta encore, et, comme au rugby, on dut faire appel à l'arbitre, M. Leibniz, et à ses assistants, MM. Newton et de l'Hôpital. On reconnut la meilleure qualité et la plus grande généralité du travail de Jakob; mais il faudrait attendre ceux d'Euler et Lagrange pour parvenir à la solution moderne du problème ("Calcul des Variations").

"Ainsi, Jean Bernoulli trouva, par analogie, une solution accidentelle d'un problème. Jacques Bernoulli développa une méthode géométrique pour la résolution des problèmes analogues. Euler généralisa à la fois les problèmes et la méthode géométrique. Lagrange enfin se libéra complètement de la considération des figures et donna une méthode analytique."

E. Mach, La Mécanique,Exposé Historique et Critique de son Développement (1883)

La Cycloïde aujourd'hui

On en parle encore!
D'abord, dans des articles récents (2011,2012) de R.M. Mottola relatifs à la construction des violons des célèbres luthiers de Cremone: article 1, article 2 dans le Savart Journal (Science and technology of stringerd musical instruments).
Ensuite, dans le choix architectural des voûtes du Kimbell Art Museum de Fort Worth (Texas, USA), conçu en 1966 (achevé en 1972) par Louis Kahn. Ce qui a fait l'objet d'un article du Mathematical Intellignecer.

(source Wikipedia)

Références

Générales, Sources

Coniques, Hexagramme mystique

Cycloïde

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