Quadriques Architecturales (I)...

Hyperboloïdes et Paraboloïdes


Il est sans doute naturel que les quadriques, surfaces d'équation
 f(x,y,z) = 0 ; d°f = 2
parce que ce sont les surfaces les plus "simples" après les plans, soient présentes dans les réalisations architecturales. Avec une prédilection pour celles qui sont, soit réglées (ce qui est certainement un critère de simplicité bien plus remarquable pour l'architecte que le degré algébrique!), soit de révolution.

L'Hyperboloïde à une nappe :

modèle x² + y² -z² = 1

Les tours de refroidissement de centrales nucléaires sont bien classiques. (Voir une illustration sur cette page de R.Ferréol ) Mais elles présentent le "défaut" de ne pas faire apparaitre très explicitement la double génération réglée une fois l'ouvrage achevé. Ce n'est pas le cas de ce chateau d'eau proche de la citadelle de Bukhara (Ouzbékistan) où les deux familles de droites sont matérialisées par des poutrelles métalliques!

(voir un cliché de détail)

Il est remarquable que cette génération soit connue dans le cadre d'un artisanat populaire depuis fort longtemps en Asie! On peut trouver dans de nombreuses boutiques au Népal et au Tibet des tabourets semblables à celui-ci, photographié à Lhassa (Tibet)

On peut en voir dans des boutiques d'importation d'articles orientaux... sans oublier la base du célèbre fauteuil d'Emmanuelle!
Hélas, le Mathouriste n'a pas TOUT visité lui-même... mais grand merci à celui de ses étudiants qui lui a déniché ce lot de consolation dans une brocante: il s'agit d'un modèle réduit, ce qui est bien pratique pour le montrer en cours!

Modèle réduit du célébrissime fauteuil d'Emmanuelle (hauteur: 40cm environ)
Le non moins célèbre et contemporain  Petit Livre Rouge de Mao Zé Dong donne l'échelle!

Voici une variante découverte en Inde; elle ne fait apparaître qu'une seule des deux familles de génératrices: idéal pour voir l'hyperboloïde à une nappe comme ensemble des droites déduites par rotation de l'une d'elles (une fibre de bambou) autour d'un axe non coplanaire, ici, vertical.


axe de rotation et génératrice

Deux réalisations sont à voir dans le Nord de la France:
 - le lustre de la cathédrale Notre Dame de la Treille à Lille, monument néo-gothique débuté en 1854, achevé en 1999 seulement et décoré avec brio d'œuvres contemporaines (Jeanclos, Kijno, Millecamps...), pour la double génération de l'hyperboloïde;
-  une sculptue de plein air, au Lycée de l'Europe, à Dunkerque, avec une seule famille de génératrices.

Le Paraboloïde Hyperbolique :

modèle  z = x² - y²

Sa génération doublement réglée permet de... construire facilement une charpente pour un toit de cette forme!

La volonté de l'architecte était de l'intégrer au paysage, qui, derrière la maison, dessine un col.
( Images parues dans une revue ayant pour thème la maison individuelle, circa 1980)
Même thème: réalisation d'un toit, mais... un peu plus à l'Est! ( le Mathouriste remercie son étudiant d'alors, Maxime Roetynck, auteur de ces 2 clichés)

Théâtre d'été, Dniepropetrovsk (Ukraine)

Voir aussi une église en Espagne, et un restaurant au Mexique sur cette pagede R. Ferréol.

Le Paraboloïde de Révolution :


modèle z  = 1 - ( x² + y²)

Firuz-Abad (Iran)

La coupole parabolique a été, semble-t-il, inventée dans l'empire Sassanide (Iran actuel): sa première réalisation a été construite à Firuz-Abad, pour le palais d'Ardéchir 1-er (roi de 226 à 241). Le but architectural était d'obtenir une voûte recouvrant un espace plus grand que ne l'aurait fait une coupole sphérique, jusque là en usage.

Recontitution en élévation du palais d'Ardéchir 1-er

Ruines du palais d'Ardéchir: état actuel


Trois vues extérieures des restes des coupoles...

... et une, d'en dessous!
Voir un autre site relatif à Firuz-Abad.

Soltanieh (Iran)

L'Iran possède une autre très belle coupole parabolique, beaucoup plus récente, quoique nettement antérieure aux oeuvres européennes: le mausolée d'Oljeitu (1280-1316, sultan à partir de 1304) à Soltanieh (1313), ville dont il avait fait sa nouvelle caplitale.. Cette fois, le but semble au contraire d'élever le sommet pour donner plus d'ampleur au monument! (ce qu'on distingue bien... malgré ce maudit échafaudage!) De fait, c'est le dôme de briques le plus haut du monde.

Voir une photo plus ancienne (noir et blanc, mais sans l'échafaudage, dont la présence est attestée de 1999 à 2003 au moins...
Peut-être lui permettra-t-il enfin de retrouver un jour sa couverture de tuiles bleues d'origine?) et une autre (petite, mais avec une partie des tuiles) ainsi qu'une peinture le représentant ici.
Le mausolée était originellement destiné à être la sépulture d'Ali, gendre de Mahomet, mais ses restes n'y furent jamais transférés, car Oljeitu, de chiite, se fit sunnite... et comme il fallait bien faire quelque chose de ce beau bâtiment, il le trouva convenable pour sa propre sépulture.

Autres

Les domes de Saint-Pierre de Rome (Michel-Ange, 1546 et Giacommo della Porta, 1590) et de Saint-Paul à Londres (Cristopher Wren, 1675-1710), sont également considérés comme paraboliques.

Pour une cuisson à point


La propriété de concentration au foyer des rayons issus de l'infini, que nul ne peut ignorer face à la prolifération des antennes de télévision par satellite, a été exploitée dans les prototypes Français de fours solaires, à Montlouis (1947, et premier au monde: lire un historique) et Odeillo, tous deux situés dans les Pyrénées Orientales. Le Mathouriste les a visités tous deux avec intérêt...mais sans son appareil photo: cliquez les images pour aller sur les sites qui les proposent et fournissent d'intéressantes explications complémentaires.

Montlouis                                                                                    Odeillo

Mais cette propriété s'avère connue de l'artisanat... tibétain (pays pourtant fort peu mathématisé s'il en est!): le fort ensoleillement de la région autorise la cuisson de votre steak (de yak) sur un four de ce modèle

Monastère de Drepung, Tibet

Et voici -trouvé quelques années plus tard dans la province du Sin Kiang, à l'Ouest de la Chine (région désertique à fort ensoleillement)-  un modèle chinois à facettes, qu'on peut supposer, pour cette raison, d'une construction plus précise!

Vers les autres sections:

Sphères et Ellipsoïdes 

Cylindres et Cônes

Intersections

Hélices tracées sur les Cylindres et Cônes

Au delà des Quadriques

Notes et Problèmes

Bibliographie et Liens

 

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