Angle AHC=Arctan(-2)

Calcul de AHC=Arctan(-2) :

Un grand merci à Isabelle Voltaire pour ses superbes explications à partir de la Proposition IX du 13^e livre des Eléments d'Euclide.

Cette version du calcul utilise la formule d'Al Kashi.
Je vous propose aussi une version qui l'évite

qu'en posant

on a

cos 36° =

Remarque :

est le fameux nombre d'or.

Et on déduit de cos² 36°+sin² 36°=1, sin 36° =

D'où 2.cos 36° =

et 2.sin 36°.cos 36° =

Ainsi dans le triangle HAC, AC=

et AH =

Pour calculer l’angle H, il est commode d’utiliser la formule d’Al Kashi :

a² = b² + c² - 2bc cos A

Ce qui donne dans le triangle HAC,

AC² = 2AH² - 2AH² cos H = 2AH² [1– cos H]

d'où 1 – cos H =

cos H =

En remplaçant

par sa valeur, on trouve cos H =

Donc sin H =

D’où tan H =

= -2.

Ainsi

H = Arctan (-2)