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Calcul de AHC=Arctan(-2) :

Un grand merci à Isabelle Voltaire pour ses superbes explications à partir de la Proposition IX du 13e livre des Eléments d'Euclide.

Cette version du calcul utilise la formule d'Al Kashi.
Je vous propose aussi une version qui l'évite

 

Dans Proposition IX du 13e livre des Eléments d'Euclide , il est montré

qu'en posant on a
cos 36° =
Remarque est le fameux nombre d'or.

 

Et on déduit de cos² 36°+sin² 36°=1,  sin 36° = =
D'où 2.cos 36° =   et 2.sin 36°.cos 36° = 

Ainsi dans le triangle HAC, AC= et AH =
Pour calculer l’angle H, il est commode d’utiliser la formule d’Al Kashi : 
a² = b² + c² - 2bc cos A

Ce qui donne dans le triangle HAC,

AC² = 2AH² - 2AH² cos H = 2AH² [1– cos H]

d'où 1 – cos H =
cos H =
En remplaçant   par sa valeur, on trouve cos H =
Donc sin H =    =
D’où tan H =  = -2.
Ainsi 
H = Arctan (-2)

 


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