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Calcul de AHC=Arctan(-2) :

Un grand merci à Isabelle Voltaire pour ses superbes explications à partir de la Proposition IX du 13e livre des Eléments d'Euclide.

Cette version du calcul évite l'utilisation de la formule d'Al Kashi en utilisant la formule 
 

  

Dans Proposition IX du 13e livre des Eléments d'Euclide , il est montré

qu'en posant  on a 
cos 36° =
Remarque est le fameux nombre d'or

 

Et on déduit de cos² 36°+sin² 36°= 1, sin 36° = =
D'où 2.cos 36° =  et AH = 2.sin 36°.cos 36° =

Ainsi dans le triangle HJC rectangle en J,   on a JC = et   HC = 
et par le théorème de Pythagore, il vient HJ= 
Donc, dans le triangle HJC, tan H =  

 

D'où, en utilisant la formule 
tan 2H = tan AHC =
tan AHC = 
tan AHC =   = 

(ce nombre négatif car est plus grand que 1)

 

Reste à prouver que  , c'est-à-dire 
Or

 

et 

donc 

donc
Les nombres étant positifs, il en va de même pour leurs racines carrées.
Donc

Ainsi tan AHC = -2

Ainsi 
AHC = Arctan (-2)

 


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