Dans Proposition IX du 13e livre
des Eléments d'Euclide , il est montré
| qu'en posant
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on a |
| cos 36° = |
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| Remarque : |
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est le fameux nombre d'or |
| Et on déduit de cos² 36°+sin² 36°=
1, sin 36° = |
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= |
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| D'où 2.cos 36° = |
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et AH = 2.sin 36°.cos
36° = |
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| Ainsi dans le triangle HJC
rectangle en J, on a JC = |
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et HC = |
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| et par le théorème de Pythagore,
il vient HJ= |
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| Donc, dans le triangle HJC, |
tan H = |
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| D'où, en utilisant la formule |
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| tan 2H = tan AHC = |
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| tan AHC = |
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| tan AHC = |
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= |
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(ce nombre négatif car
est plus grand que 1)
| Reste à prouver que |
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, c'est-à-dire |
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Les nombres étant positifs, il en
va de même pour leurs racines carrées. |
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Donc |
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Ainsi tan AHC = -2
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