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Calcul de l’angle entre 2 faces d’un dodécaèdre régulier
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Extraire une configuration utile aux calculs : Visualisation de la configuration en 3D
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Calcul de l’angle entre 2 faces d’un dodécaèdre régulier
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Extraire une configuration utile aux calculs : Visualisation de la configuration en 3D
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On considère le tétraèdre formé par les arêtes issues d’un
sommet d’un dodécaèdre, de côté 1.
On obtient donc un tétraèdre régulier SABC de sommet S
tel que SA=SB=SC=1 et ASB=BSC=CSA=108°.
En nommant H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle SAB, L’angle entre 2 faces du tétraèdre est une mesure de l’angle AHC dans le triangle AHC. |
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Calcul de AH :
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triangle SAB est isocèle de sommet S tel que SA=SB=1 et ASB=108° Donc SAB=SBA=36°. Dans le triangle KAS rectangle en K, AK= cos 36° Donc AB=2.cos 36° Dans le triangle HAB rectangle en H, AH=AB.sin 36°
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Calcul de l’angle AHC
Le triangle ACH est isocèle de sommet H tel que AH=CH=2.sin 36°.cos 36° et AC=2.cos 36°
donc AHC = 116,57° au centième près.
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On peut montrer que cet angle mesure simplement Arctan(-2) à partir de la valeur exacte de cos(36°) et
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Pour voir et faire tourner des polyèdres, rendez-vous sur le site de Lemur, et cliquez sur Polyèdres ... |
Merci à Hubert M. pour la version fil de fer : on ne peut plus explicite! |
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Utilisez la souris et le bouton gauche pour bouger les objets !
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