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Calcul de l抋ngle entre 2 faces d抲n dod閏a鑔re r間ulier
(12 pentagones r間uliers)

 

Extraire une configuration utile aux calculs : 

  

Visualisation de la configuration en 3D 
(utiliser la souris et le bouton gauche pour bouger le tout) 

 

 

On consid鑢e le t閠ra鑔re form par les ar阾es issues d抲n sommet d抲n dod閏a鑔re, de c魌 1.
On obtient donc un t閠ra鑔re r間ulier SABC de sommet S
tel que SA=SB=SC=1 et ASB=BSC=CSA=108.

En nommant H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle SAB,
H est aussi le pied de la hauteur issue de C dans le triangle SBC.

L抋ngle entre 2 faces du t閠ra鑔re est une mesure de l抋ngle AHC dans le triangle AHC.   

    

Calcul de AH :

Le triangle SAB est isoc鑜e de sommet S 
tel que SA=SB=1 et ASB=108

Donc SAB=SBA=36.

Dans le triangle KAS rectangle en K, AK= cos 36

Donc AB=2.cos 36

Dans le triangle HAB rectangle en H,

AH=AB.sin 36

Donc 
AH=2.sin 36.cos 36
(=sin 72)

 

Calcul de l抋ngle AHC

Le triangle ACH est isoc鑜e de sommet H

tel que AH=CH=2.sin 36.cos 36 et AC=2.cos 36

Dans le triangle JAH rectangle en J, sin AHJ =
Donc sin AHJ =
d抩 sin AHJ =
donc
AHC=2.arcsin

 donc AHC = 116,57 au centi鑝e pr鑣.

 

L抋ngle entre 2 faces du dod閏a鑔re r間ulier est 2.arcsin

On peut montrer que cet angle mesure simplement Arctan(-2) partir de la valeur exacte de cos(36) et

 

   
Pour voir et faire tourner des poly鑔res,
rendez-vous sur le site de Lemur,
et cliquez sur Poly鑔res ...
Merci Hubert M. 
pour la version fil de fer :
on ne peut plus explicite!

 

Utilisez la souris et le bouton gauche pour bouger les objets !

 


KEOPS pour LiliMath 
Copie et impression autoris閑s
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