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Calcul de cos 36° = 'la moitié du nombre d'or'

Un grand merci à Isabelle Voltaire pour ses superbes explications que je reprends ici en grande partie !

 

   

Figure 1

 

Figure 2

 

Extrait du treizième livre des Eléments d’Euclide

PROPOSITION IX

Si l'on ajoute ensemble le côté de l’hexagone et le côté du décagone, ces polygones étant décrits dans le même cercle, la droite entière sera coupée en extrême et moyenne raison, et son plus grand segment sera le côté de l'hexagone.

Soit le cercle ABG; décrivons ces polygones dans le cercle ABG ; que BG soit le côté du décagone, et GD le côté de l’hexagone, et que ces côtés soient placés en ligne droite ; je dis que la droite entière BD est coupée en extrême et moyenne raison au point G, et que GD est son plus grand segment.

Car prenons le centre du cercle, et que ce soit le point E ; joignons EB, BG, ED, et prolongeons BE vers le point A. 
Puisque BG est le côté d'un décagone équilatéral, l'arc AG est quadruple de l'arc BG . 
Mais l'arc AG est à l'arc GB comme l'angle AEG est à l'angle GEB ; l'angle AEG est donc quadruple de l’angle GEB. 
Et puisque l'angle EBG est égal à l’angle EGB, l'angle AEG sera double de l'angle EGB. 
Et puisque la droite EG est égale à GD, car chacune de ces droites est égale au côté de l'hexagone décrit dans le cercle ABG (15.4), l'angle GED sera égal à l'angle GDE (5.1) ; l'angle EGB est donc double de l'angle EDG (32.1). 
Mais on a démontré que l'angle AEG est double de l'angle EGB ; l'angle AEG est donc quadruple de l'angle EDG. 
Mais on a démontré que l'angle AEG est quadruple de l'angle BEG ; l'angle EDG est donc égal à l’angle BEG. 
Mais l’angle EBD est commun aux deux triangles BED, BEG ; l'angle restant BED est donc égal à l’angle restant EGB ; le triangle EBD est donc équiangle avec le triangle EBG ; la droite DB est donc à BE comme EB est à BG (4.6).
Mais EB est égal à DG(15.4) ; la droite BD est donc à DG comme DG est à GB. 
Mais la droite BD est plus grande que DG ; la droite DG est donc plus grande que GB ; la droite BD est donc coupée en extrême et moyenne raison au point G (déf. 3.6), et DG est son plus grand segment. 
Ce qu'il fallait démontrer.

 



Figure1


Figure 2


Traduction moderne

A des fins de simplification de mise en page, la notation anglaise suivante a été adoptée:
l'angle ABC est noté ABC.

Arc AG = 4× Arc BG donc AEG = 4×GEB

EBG isocèle donc  EBG = EGB

AEG = 2× EBG = 2×EGB (angle au centre et angle inscrit interceptant le même arc)

EG = GD donc EGD isocèle  donc GED = GDE

EGB = 2× EDG (l’angle extérieur est la somme des deux intérieurs non adjacents du triangle EGD)

AEG = 2× EGB (même propriété pour le triangle BEG)

D’où AEG = 4×EDG.

Et comme AEG = 4×BEG, on a donc EDG = BEG.

 


Figure 1

Or EBD est commun à BED et BEG, donc les triangles EBD et GBE sont semblables.

Donc, les côtés sont proportionnels : =
mais comme EB = DG, on obtient =

qui est le rapport de similitude.

 

Le calcul de ce rapport de similitude servira à justifier la construction au compas du décagone, puis du pentagone.

 

La proportion obtenue ci-dessus  conduit à DG² = DB.GB

Le rayon du cercle est 1; posons DB = x :

l’égalité DG²=DB.GB donne 1 = x (x - 1)

soit    x² - x - 1 = 0

Le discriminant est 5,

 la racine positive est  =
On a donc BD =

 

La première figure indique la construction, classique, de cette longueur avec le petit cercle, qui est reportée en BD.

La proportion  est égale à  ,
elle nous donne GB = 
Or  vérifie l’équation x² = x + 1,
Donc   ²=  + 1 ;
en divisant par  ,
on a = 1 +  , ou encore  = - 1,
 

 

 


Figure 1

Ce qui explique que BG = DB - DG = - 1
a bien la longueur  .
Le rapport  =  est le rapport de similitude 
 des deux triangles EBD et GBE.

Puisque BG est le côté du décagone,  

- l’angle au sommet des deux triangles isocèles mesure 36°
- leurs angles à la base 72°.

 

Supposons que l’on trace les hauteurs DD’ et GG’ relatives à EB dans les triangles EBD et GBE (voir Figure 2), les aires de ces triangles sont

      EB.DD’et   EB.GG’.

Or, le rapport des aires de deux triangles semblables est le carré du rapport de similitude,

Donc  = ².

Dans le triangle EBD,

 sin 72° =   =  GG’

Dans le triangle GBE,

 sin 36° =  = GG’.


Figure 3

On sait d’autre part que sin 2a = 2 sin a.cos a
donc ici sin 72° = 2 sin 36° . cos 36°.

Soit  GG’ = 2.GG’.cos 36°,
d’où l’on tire
cos 36° =

 


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