2. LE RADAR DOPPLER A IMPULSION DES F-16

Un radar performant
En 1990, les F-16 belges étaient dotés du système radar APG-66 de Westinghouse, livré par le constructeur des F-16, General Dynamics. C'est un radar de combat, scrutant le ciel devant l'avion. Il a été complété par l'adjonction du système Carapace de Dassault15. L'objectif était de protéger les F-16, en les dotant d'un système ECM (electronic counter measures) qui détecte et analyse les ondes radar venant d'autres émetteurs : radars au sol, avions ennemis ou missiles à tête chercheuse. C'est un système passif, avec 7 antennes réparties sur la surface de l'avion pour "voir" aussi sur les côtés et vers l'arrière. On a ajouté un système actif (ALQ 131 de fabrication américaine) pour brouiller les radars ennemis. La décision avait été prise déjà le 28 avril 1989 par le Comité ministériel de coordination économique et sociale et le contrat a été signé le 7 juin 1989, bien avant les événements de mars 1990.
Le radar des F-16 utilisé à ce moment n'était donc pas déficient en ce qui concerne la localisation et l'observation quasi continue des "cibles" devant l'avion. L'orientation du faisceau est modifiée très rapidement, d'une manière qui dépend du mode de fonctionnement (search, situation awareness mode, air combat mode, single target tracking, conical scan). Le radar peut être verrouillé sur une "cible" particulière pour fournir des informations plus détaillées à son égard, mais il doit continuer à surveiller le ciel. La distance d'une "cible" est mesurée au moyen du temps de parcours des impulsions, tandis que la grandeur de la vitesse radiale par rapport au F-16 est mesurée par effet Doppler. Ceci s'applique à chacun des échos, à l'instant même où il est détecté, tandis que les radars au sol peuvent seulement déterminer la vitesse à partir du changement de la position de l'écho au cours de deux balayages successifs. La mesure des vitesses relatives par effet Doppler assure une élimination efficace des échos anormaux par des radars aéroportés.
Il n'est donc pas évident que les mystérieux enregistrements radar des F-16 réalisés au cours de la mission du 30/31 mars 1990, puissent résulter d'une détection de masses d'air humide. D'après les données enregistrées, les sources des échos non identifiés se déplaçaient parfois à plus de 1000 nœuds (1850 km/h) par rapport au sol, alors que les chasseurs F-16 volaient à environ 400 nœuds. Les nuages invisibles, entraînés par le mouvement général de l'atmosphère, se déplaçaient à 25 nœuds par rapport au sol. Que s'est-il donc passé? Pour le découvrir, il faut comprendre le fonctionnement des radars aéroportés6,16,17. Cela fournit une occasion pour apprendre, ce qui n'est jamais inutile, mais il suffira de nous en tenir aux principes de base.

L'effet Doppler pour un réflecteur en mouvement
Rappelons nous qu'une voiture de course produit un son de fréquence élevée quand elle s'approche, mais dès que la voiture s'éloigne de nous, on entend un son de fréquence plus basse, bien que le bruit produit par le moteur reste le même. La lumière émise par des galaxies qui s'écartent de nous, présente également un spectre "décalée vers le rouge", c'est-à-dire vers les basses fréquences. La situation est un peu différente pour un radar ou un sonar, parce que l'émetteur envoie une onde vers un réflecteur en mouvement. L'onde revient, pour être captée par le récepteur qui se trouve au même endroit que l'émetteur. La figure 3 décrit ces événements d'une manière graphique, facilement compréhensible.
Considérons d'abord le cas (à gauche), où le réflecteur est immobile par rapport à l'émetteur-récepteur. Celui-ci se trouve à l'origine de l'axe des x, tandis que le réflecteur est situé à une distance d, constante au cours du temps. Un signal émis en x = 0 à l'instant t = 0 se propage vers le réflecteur à la vitesse c et revient à la même vitesse. Un second signal émis en x = 0 à l'instant t = T revient après un intervalle de temps égal à T. On peut imaginer que le réflecteur est un miroir perpendiculaire à l'axe des x, mais en fait, il s'agit simplement d'une rétrodiffusion. Au lieu de deux signaux successifs, on peut considérer une onde qui oscille constamment à la fréquence F = 1/T. L'onde qui revient aura la même fréquence, si le réflecteur est immobile, mais la situation est différente quand le réflecteur est en mouvement.


Figure 3. La propagation d'ondes à la vitesse c conduit à un changement de
la période d'oscillation du signal réfléchi quand le réflecteur est en mouvement.

Examinons le cas (représenté à droite) où il s'approche de l'émetteur-récepteur à une vitesse v. Il suffit d'inspecter la figure pour voir qu'on peut calculer le changement DT de la période, puisque c (DT/2) = v (T-DT/2). Donc (c+v) DT = 2vT. Quand v « c, il en résulte que DT = (2v/c) T. La période du signal reçu T' = T-DT = (1-2c/v) T. Elle diminue, mais la fréquence F'= 1/T' augmente. Puisque v « c, on trouve que F' = (1+2v/c) F. Le changement de fréquence DF = F'-F est tel que DF/F = 2v/c. Si l'onde s'était propagée toujours dans le même sens (d'un émetteur vers un récepteur séparé), on aurait obtenu DF/F = v/c, où v est la vitesse d'approche relative, avec v « c. Un réflecteur en mouvement amplifie donc l'effet Doppler d'un facteur 2. Notons que la fréquence augmente quand le réflecteur s'approche et qu'elle diminue, quand il s'éloigne.

La mesure de la vitesse d'approche
Pour mesurer la grandeur et le signe de v, il faut comparer le signal qui revient à celui qui continue à être produit par l'oscillateur interne de l'émetteur-récepteur. Ces signaux peuvent être représentés au même instant t par deux vecteurs qui tournent à des vitesses angulaires différentes (figure 4). Le vecteur qui caractérise l'oscillateur interne a une grandeur A et tourne avec une vitesse angulaire w = 21/T, où 21 est l'angle balayé (en radians) pendant un tour complet ou une période T. Les composantes du vecteur (encadrées) sont des fonctions harmoniques. L'une est maximale quand l'autre est nulle.

Figure 4: Le signal interne à l'émetteur et le signal capté par le récepteur peuvent être
représentés par deux vecteurs qui tournent. L'effet Doppler change la vitesse angulaire.

Le signal capté par le récepteur est caractérisé par un vecteur de grandeur A'. Il tourne à une vitesse angulaire w' différente de w quand l'onde est renvoyée par un réflecteur en mouvement. S'il s'approche à une vitesse v, on aura un changement relatif Dw/w = 2v/c. Quand la vitesse est constante depuis l'instant t = 0 jusqu'à l'instant t, la phase f = Dw.t et quand la vitesse varie, on peut dire qu'après un temps dt, la phase change de telle manière que Dw = df/dt. C'est la dérivée de f par rapport au temps. Il est donc possible de mesurer la vitesse instantanée, quand dt est très petit.
La valeur de f à un instant donné est extraite du signal qui revient, au moyen d'un traitement électronique. Posons A = 2 et prenons les produits (au moyen d'un mélangeur électronique) du signal reçu et du signal de référence au même instant. On prendra également le produit avec le signal de référence, déphasé de 90° (le sinus au lieu du cosinus). Les élèves du secondaire savent déjà que ces produits sont équivalents à des sommes de fonctions trigonométriques :

2A' cos (wt+f) coswt = A' [cos f + cos (wt+f/2)]
2A' cos (
wt+f) sinwt = A' [-sin f + sin (wt+f/2)].

Les derniers termes dans les crochets correspondent à des fonctions qui oscillent rapidement. On peut les éliminer par un filtrage électronique pour obtenir deux signaux de basse fréquence :

I (t) = A' cos f et Q (t) = A' sin f.

Le premier signal suffirait pour déterminer la grandeur de f, mais pas son signe. Pour aboutir à une précision optimale pour la grandeur et le signe de la phase instantanée f, on utilisera toujours les deux fonctions I (t) et Q (t), en effectuant une transformée de Fourier rapide (au moyen d'un processeur digital, agissant comme analyseur de fréquence). Ensuite, il suffit de tenir compte du changement df de la phase pendant un tout petit intervalle de temps dt pour déterminer Dw = (2v/c) w.

La mesure de la distance radiale
Jusqu'à présent, nous avons supposé que le signal est émis en continu. Dans ce cas, on ne peut pas déterminer la distance instantanée d du réflecteur. Pour cela, il faudrait utiliser des impulsions et mesurer le temps Dt nécessaire pour qu'une impulsion donnée effectue un aller-retour. Puisque le signal se propage à la vitesse c, on aurait d = c (Dt/2). Notons que la vitesse est pratiquement égale à c, même quand il y a des perturbations atmosphériques, mais la formule qui précède n'est valable que pour des sources proches. La figure 5 montre en effet que l'écho reçu pourrait être dû à une impulsion antérieure, par exemple la précédente. On aboutit donc à une ambiguïté.


Figure 5: La détermination des distances est ambiguë pour une seule valeur de To.

Considérons une onde de période T, découpée en une suite d'impulsions qui se répètent avec une période To. Dans ce cas, on peut seulement affirmer que la distance réelle D = d + ndo, où do = cTo/2 et n = 0, 1, 2,... On peut émettre cependant de manière successive plusieurs trains d'ondes, avec des intervalles différents : To, T1, T2,... Cela fournit des "distances ambiguës maximales" do, d1, d2,... et un ensemble d'équations D = d+nodo = d+n1d1 = d+n2d2... Trois trains d'ondes seraient suffisants pour déterminer la valeur de d, si l'on était certain qu'il y a un seul réflecteur. Un F-16 doit évidemment pouvoir discerner différents réflecteurs. Leur nombre résulte d'un compromis. Le système APG-66 des F-16 utilise 8 trains d'ondes de 64 impulsions, envoyés à 8 fréquences de récurrence différentes. En pratique, on ne résout pas des équations, mais on détermine D au moyen d'un corrélateur électronique qui détecte simplement des coïncidences. Ce conditionnement analogique est robuste et suffisant.

La vitesse maximale mesurable
Puisque les F-16 sont dotés d'un radar Doppler à impulsions, on est confronté à une seconde difficulté. Elle concerne la mesure des vitesses. Revenons en effet au cas simple, où le radar émet de manière continue une onde sinusoïdale de fréquence F. Le spectre des fréquences serait alors constitué d'une seule raie infiniment mince. Elle correspondrait à la fréquence F et il suffirait de mesurer le changement DF de cette fréquence pour déterminer la vitesse v. La réalité est un peu plus compliquée, puisqu'il faut utiliser une série de trains d'ondes si l'on veut également mesurer la distance du réflecteur.
Le radar des F-16 émet une onde de fréquence F qui se situe dans le domaine des GHz (la période T » 10-9 s), mais cette onde porteuse est modulée en amplitude, pour former une suite d'impulsions rectangulaires de faible durée (largeur t » 10-6 s). Admettons pour l'instant qu'il y ait une suite infinie d'impulsions qui se succèdent à des intervalles réguliers (To » 10-3 s). La fréquence de récurrence fo = 1/To se situe alors dans le domaine des kHz. Dans ce cas, on ne peut plus dire que l'onde est monochromatique ! On obtient une raie élargie, constituée d'un ensemble de raies, séparées les unes des autres de fo. Comme le montre la figure 6, l'enveloppe des amplitudes est donnée par une fonction qui est maximale pour la fréquence F et décroît avec des rebondissements. On peut calculer l'enveloppe (elle varie comme la valeur absolue de sinx sur x). Sa largeur caractéristique est égale à 1/t.
Nous savons qu'il faut envoyer différents trains d'impulsions pour arriver à lever l'incertitude sur les distances. Si chaque train d'impulsions est limité à N éléments, les raies internes du spectre des fréquences sont élargies, mais N est assez grand pour que nous puissions les représenter par des raies très minces (figure 6). L'importance de ce qui précède résulte du fait que l'effet Doppler produit un glissement de tout le spectre des fréquences. Il se pourrait donc que le déplacement DF soit supérieur à fo. Cela dépendra de la grandeur de la vitesse v, mais quand DF est égal à un multiple de fo, le spectre du signal reçu coïncide avec le spectre du signal émis. Tout se passe comme si la vitesse v était nulle.


Figure 6 : Le spectre des fréquences d'un train d'ondes et le changement de fréquence DF qui
résulte de l'effet Doppler. Il faut que
DF soit limité pour éviter une ambiguïté des vitesses.

Puisqu'on doit tenir compte aussi bien des "cibles" qui s'écartent du F-16 que de celles qui s'en approchent, on exigera que DF se situe entre ± fo/2. On doit donc renoncer à la mesure des vitesses qui dépassent une certaine valeur vm. Cette vitesse relative maximale est déterminée par la relation fo/2 = (2vm/c) F. Puisque la longueur d'onde de l'onde porteuse est l = c/F, on a vm = fol/4. Pour pouvoir mesurer des vitesses élevées, il faudrait que la fréquence de récurrence fo soit élevée, mais il y a une objection. La distance ambiguë maximale dm = c/2fo serait très petite, si fo était très grand. Il faudrait beaucoup de trains d'ondes différents pour lever l'ambiguïté en distance.
On doit donc accepter un compromis: la valeur de fo sera ni trop grande ni trop petite. Il suffit que la vitesse relative maximale vm soit assez élevée pour ne pas être dépassé par la technologie du moment. Pour les F-16, la vitesse relative maximale vm est de l'ordre de 600 noeuds6. Puisque la vitesse absolue par rapport au sol est calculée, elle peut être plus élevée, mais il y a une limite.

L'extraction des échos recherchés et l'élimination des autres
Il est vital pour le pilote qu'il puisse se fier à son radar. Ce système doit donc capter et présenter les échos provenant d'avions, en rejetant les échos anormaux. La figure 7 illustre la situation pour un vol horizontal. Le faisceau radar peut toucher par exemple l'avion 1 qui se trouve à une distance d du F-16 et qui s'en approche avec une vitesse relative v quand il est pourchassé. Nous savons qu'il peut y avoir des rétrodiffusions quand le faisceau radar éclaire une masse d'air humide H ou quand il touche le sol en S, par exemple. Cet endroit s'approche du F-16 à une vitesse vs que l'ordinateur calcule à partir d'autres données (la vitesse et l'altitude du F-16, ainsi que l'orientation du faisceau).


Figure 7 : Les sources possibles d'échos radar pour un chasseur F-16.

En plus du faisceau formé par le lobe principal de l'antenne, il y a des lobes secondaires. L'émission et la réception y sont nettement plus faibles, mais ils peuvent capter des échos venant de différents endroits du sol, aussi bien derrière que devant l'avion, les vitesses relatives étant comprises entre plus et moins la vitesse de l'avion par rapport au sol. La probabilité de ce type de détection est la plus grande pour la partie S' du sol, située juste au-dessous de l'avion, puisque la distance à parcourir y est la plus courte. L'intensité du signal reçu varie en effet comme 1/d4 (à cause de la divergence des rayons émis et diffusés). La vitesse relative de S' est nulle.
L'ordinateur analyse les signaux qu'il capte au fur et à mesure de leur arrivée, afin d'en extraire les informations utiles et d'en éliminer les échos perturbateurs. Puisque le chasseur F-16 peut se trouver en présence de plusieurs avions, il doit pouvoir séparer ces échos. Il le fait au moyen des paramètres mesurés : la distance et la vitesse relative. Pour un train d'onde donné, il s'agit de la distance ambiguë d et de la vitesse radiale v, comprise entre -vm et +vm. Le signe est positif pour une vitesse d'approche (closing speed). Le radar peut donc réaliser une classification des échos dans un plan d-v, comme le montre la figure 8.
En fait, pour une orientation donnée du faisceau, le radar analyse d'abord la portion du signal qui a été renvoyée le plus rapidement et ensuite, des portions qui arrivent de plus en plus tardivement. Cela correspond à des distances croissantes. L'échantillonnage est réalisé de telle manière que le domaine des distances possibles d est découpé en portions de même largeur d. Elle est déterminée par la largeur t des impulsions individuelles, puisqu'il est impossible de séparer les impulsions les unes des autres, si les durées d'un aller-retour ne diffèrent pas au moins de t/2. Le plus petit intervalle de distance mesurable sera donc d = ct/2. On ouvre l'une après l'autre des "portes de distance" de cette largeur. Puisque la distance maximale dm dépend de la fréquence d'échantillonnage fo, on se contente d'imposer un nombre maximal de portes de distance juxtaposées, pouvant aller jusqu'à 128.


Figure 8 : Classification des échos radar dans le plan d-v.

Pour chacune de ces portes de distance, c'est-à-dire pendant un laps de temps très bref, l'ordinateur examine l'ensemble des impulsions qu'il reçoit en retour pour le train d'onde qui vient d'être envoyé. Il détermine les vitesses relatives v des différents réflecteurs, en mesurant les changements de fréquence DF. Cela se fait au moyen d'un processeur électronique et d'un banc de filtres qui découpent directement le spectre des fréquences en 64 parties de même largeur. On obtient ainsi une certaine intensité du signal pour 64 portes de vitesse, en déterminant aussi le signe. On définit donc un ensemble de "cases" pour une portion limitée du plan d-v. Quelques-unes de ces cases sont indiquées dans le coin supérieur gauche de la figure 8.
Les intensités du signal pour l'ensemble des cases créées dans le plan d-v définissent une matrice qui contient toutes les informations reçues. La répartition des intensités peut présenter des maxima pour des cases qui correspondent à des "cibles" différentes. Les points 1 et 2 en sont des exemples, mais il y aura aussi une répartition d'intensités relativement importantes pour des réflecteurs situés au sol (ground clutter). Ce "fouillis" est représenté sur la figure 8 par la plage en gris clair, avec des renforcements pour l'endroit (S) où le lobe principal touche le sol et pour l'endroit (S') qui se trouve à la verticale de l'avion (figure 7). Nous avons déjà noté que l'ordinateur peut calculer la vitesse relative vs de l'endroit (S) où le lobe principal touche le sol, mais la distance peut dépendre du relief. On élimine donc tous les échos qui ont des vitesses assez proches de vs. Cela correspond à une bande verticale sur la figure 8. On écarte aussi une bande horizontale près de d = 0.
En fait, on ne commence l'analyse qu'à partir d'une certaine distance et on impose une transposition (électronique) de tout le spectre des fréquences, de telle manière qu'il suffit de couper ensuite les fréquences proches de zéro. Ce filtrage se réalise d'une manière dynamique, en utilisant constamment la valeur instantanée de vs. Autrement dit, la bande verticale de la figure 8 est déplacée en fonction de la situation de l'avion en vol et de l'orientation instantanée du faisceau. La largeur de cette bande est choisie de telle manière qu'on élimine aussi des échos provenant de réflecteurs mobiles (voitures, trains,...). Le filtrage est assuré par le "suiveur de fouillis" et le "suppresseur de fouillis", mais on prend des précautions pour ne pas éliminer des échos provenant d'avions, comme ce serait normalement le cas pour le point 3 de la figure 8.
On réalise donc pour chaque ligne du plan (d,v) un filtrage plus subtil, régi par un seuil adaptatif. Pour cela, on groupe trois cases adjacentes et on retient le signal pour une des cases, s'il y est plus intense que la valeur moyenne dans les deux autres cases, multiplié par une constante modifiable. C'est une procédure générale qui réduit les effets du bruit et permet de maîtriser le fouillis des lobes secondaires. Pour lever l'ambiguïté des distances, on compare ensuite les résultats obtenus pour différents trains d'ondes. Cette procédure est rapide et efficace, mais nous nous demandons ce qui pourrait se passer pour une masse d'air humide (H). Puisqu'un nuage invisible est pratiquement immobile par rapport au sol, la grandeur de sa vitesse v' par rapport au F-16 est proche de la vitesse vs de la portion du sol que le faisceau éclaire en même temps. L'écho devrait être éliminé, à moins que...

La vitesse Doppler d'un nuage invisible est modifiée
En 1994, j'ai réalisé que le radar des F-16 peut être induit en erreur, parce que le concept usuel de l'effet Doppler n'est pas assez général. On a l'habitude de considérer un réflecteur unique mais la rétrodiffusion des ondes radar par un nuage invisible conduit à une situation plus compliquée. Examinons ce problème d'une manière simple, mais rigoureuse. Si l'on préfère, on peut passer directement au titre suivant, bien que l'argumentation que je présente ici soit capitale pour évaluer les faits observés.
Considérons un faisceau radar qui traverse une suite de surfaces où l'humidité relative de l'air varie pratiquement de manière discontinue. Ces surfaces sont situées à des distances L1, L2, L3,.. LN du radar (figure 9). Nous supposons qu'elles sont perpendiculaires à la direction du faisceau, que l'humidité est homogène dans chacune des portions intermédiaires et qu'elle est négligeable devant L1 et derrière LN. Ce modèle est simple et met en évidence tout ce qui est essentiel. Comme l'indique la figure 9, l'onde incidente subit une réflexion partielle à toutes les interfaces.


Figure 9 : Réflexions partielles à des surfaces où la vitesse de propagation varie brusquement.

La vitesse de propagation des ondes radar est constante dans chacune des portions considérées. La grandeur de la vitesse y est donnée par c/n, où c est la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide, tandis que n est l'indice de réfraction. On peut dire que n = 1+e, où e est très petit par rapport à 1, mais proportionnel à la densité des molécules d'eau. A chacune des interfaces où le degré d'humidité varie brusquement, on doit considérer une onde incidente, une onde réfléchie et une onde transmise. Les intensités respectives sont déterminées par deux conditions de raccordement, exprimant le fait que l'énergie et le flux d'énergie doivent avoir une valeur unique.
Considérons ce qui se passe à la distance Ls. Devant cette interface, l'indice de réfraction est 1+es et derrière cette interface, il est 1+es+1. L'amplitude de l'onde réfléchie est alors Bs = asA, où as est égal à la moitié de la différence entre les indices de réfraction devant et derrière l'interface. Ceci peut être démontré à partir des conditions de raccordement pour une incidence normale et n » 1. Il en résulte que as = (es-es+1) /2. Bien que ce coefficient soit très petit, nous le retenons, puisqu'il ne faut pas l'ajouter à un terme beaucoup plus grand. Ce n'est pas le cas pour l'onde transmise. Sa modification est négligeable. En pratique, As = A et cela pour chacune des interfaces. Les ondes réfléchies traversent également les interfaces sans modifications, bien qu'en général, il faudrait considérer des réflexions multiples. Le radar reçoit donc la somme des ondes réfléchies aux différentes interfaces.
Le résultat dépend des intensités des "ondes partielles" et de leurs phases respectives. En général, il y aura des interférences. L'onde réfléchie en Ls aura parcouru une distance égale à 2Ls, en effectuant un aller-retour. La vitesse de propagation est partout pratiquement égale à c. Le déphasage de l'onde réfléchie en Ls par rapport à l'onde émise est donc égal à fs = (w/c) 2Ls. Si l'on pose A = 1, on peut représenter chacune des ondes réfléchies par un petit vecteur de grandeur as, tournant à la même vitesse angulaire w que le vecteur caractéristique de l'onde émise, mais avec un déphasage fs. Tous ces vecteurs s'ajoutent les uns aux autres, comme le montre la figure 10.


Figure 10 : Les ondes réfléchies peuvent interférer d'un manière assez constructive.

Les petits vecteurs pourraient être très nombreux et juxtaposés dans n'importe quel ordre, mais pour la clarté j'en ai représenté seulement un petit nombre et je les ai placés dans un ordre tel que l'angle de phase augmente progressivement. La somme de tous ces vecteurs est un vecteur de grandeur r et de phase f. Le radar ne fait pas de différence entre la somme d'un grand nombre d'ondes réfléchies à différents endroits et une onde renvoyée par un réflecteur unique. Il suffit maintenant de considérer la figure 10, pour que tout ce qui est essentiel "saute aux yeux".
Il faut que la grandeur r du vecteur résultant soit assez grande pour que le radar puisse détecter le signal renvoyé. Ce ne sera pas toujours le cas, puisque les petits vecteurs peuvent avoir des orientations quelconques. Ceci s'applique également à des installations radar au sol. Les radars militaires sont dotés d'un faisceau assez fin, mais ils ont une grande sensibilité ou capacité de discrimination par rapport au bruit. Ils captent donc ces échos, mais pas à chaque tour de l'antenne. Les radars aéroportés les captent également de temps en temps. L'intensité du signal reçu sera maximale quand tous les petits vecteurs sont alignés, mais la vitesse Doppler dépend de la dérivée df/dt et donc des variations instantanées des orientations des petits vecteurs!
Considérons le cas d'une seule masse d'air humide homogène, caractérisée par n = 1+e. Il y aura des réflexions partielles à l'entrée (avec a1 = -e/2) et à la sortie (avec a2 = e/2). Le résultat de la superposition est nul quand les deux petits vecteurs sont opposés, ce qui arrive quand f1 = f2 = 0 (ou un multiple entier de 21). La somme est maximale par contre quand f1 et f2 diffèrent de 1 (ou d'un multiple impair de 1). D'une manière générale, quand il y a un grand nombre de réflexions partielles, la phase f du vecteur résultant sera très sensible aux phases fs des petits vecteurs. Cela peut s'écrire de manière analytique, puisque le dessin de la figure 10 est équivalent à la somme

r eif = a1eif1 + a2eif2 +... + aneifn = Ss aseifs.

S'il suffisait de considérer la somme des coefficients as, on pourrait dire qu'elle est nulle (puisque qu'on monte ou descend à chaque pas pour revenir finalement à zéro), mais il faut tenir compte des valeurs de fs. La vitesse Doppler v est définie par df/dt = (2v/c) w. Si l'on suppose que les coefficients as restent pratiquement constants, tandis que les longueurs Ls varient à la vitesse vs, il suffit de dériver l'expression ci-dessus pour voir que la vitesse Doppler est déterminée par la relation

v (Ss aseifs) = Ss vsaseifs.

Si toutes les vitesses étaient identiques (vs = v'), il en résulterait que la vitesse instantanée serait égale à la vitesse du déplacement global (v = v'). C'est le cas d'une "cible dure", mais nous considérons celui d'une "cible molle", susceptible de se déformer en de nombreux endroits. La vitesse Doppler d'un nuage invisible n'est donc pas nécessairement égale à sa vitesse moyenne.

Il faut considérer la vitesse Doppler instantanée
Le résultat essentiel est que le radar reçoit un signal qui est la somme de toutes les ondes réfléchies en des endroits où l'humidité de l'air varie assez brusquement. Cela donne lieu à des interférences ! L'intensité du signal résultant détermine la probabilité de détection, tandis que la vitesse Doppler du nuage invisible est déterminée par la variation instantanée de la phase (df/dt).
A première vue, on pourrait penser que même des turbulences assez violentes à l'intérieur d'une masse d'air humide n'auraient aucune importance, puisque la valeur moyenne des écarts par rapport à la vitesse moyenne devrait s'annuler. Il m'est revenu indirectement que Jean-Pierre Petit utilisait cet argument, mais il n'est pas correct. En effet, le radar des F-16 détermine la vitesse Doppler au moyen des mesures effectuées pendant un intervalle de temps extrêmement petit. Il est infinitésimal par rapport à l'échelle de temps qu'il faudrait considérer pour obtenir une valeur moyenne.
Quand on considère seulement la probabilité de détection, il faut considérer par contre la valeur moyenne de la grandeur r du vecteur résultant sur la figure 10 , en supposant que les petits vecteurs varient d'une manière aléatoire. On peut démontrer que la distribution des probabilités pour aboutir après N déplacements aléatoires à telle ou telle distance r du point de départ correspond à une "courbe en cloche" de Gauss, centrée sur le point de départ, mais le déplacement moyen après N pas n'est pas nul. Il augmente au contraire, pour des pas de même grandeur et d'orientation quelconque, comme la racine carrée de N. Un marin qui se déplace en étant complètement soûl, tend à s'écarter de son point de départ. Il en est de même pour le "mouvement brownien", c'est-à-dire le déplacement moyen d'une particule très petite, mais visible au microscope optique, quand elle est bousculée par l'agitation thermique du fluide qui la contient.
Le radar d'un F-16 ne parvient pas toujours à détecter l'onde renvoyée par un nuage invisible, parce que les ondes partielles qui sont renvoyées aux endroits où l'humidité varie brusquement peuvent interférer de manière destructive. Quand il détecte un signal, il attribuera à la source de l'écho une distance réaliste (déterminée par le temps de parcours des impulsions), mais une vitesse instantanée qui est en général différente de la vitesse moyenne (v' sur la figure 7). Cet écho ne sera pas toujours éliminé par le filtrage électronique, défini par la bande verticale de la figure 8.

Raisonnements apparentés
J'ai été amené à développer cette théorie pour résoudre le problème posé par les enregistrements radar des F-16 au cours de la nuit du 30/31 mars 1990. Je n'avais rien vu de semblable, mais je n'exclus pas que cela puisse exister. Si c'était le cas, je serais ravi de l'apprendre. J'ai présenté cette argumentation et en particulier les deux dernières relations analytiques le 27 mars 1994 à Philip Klass. Cet auteur américain, coéditeur de la revue Aviation Week & Space Technology, s'oppose d'une manière acharnée à l'idée que le phénomène OVNI puisse être réel et poser des questions plus fondamentales que celles qu'il envisage. D'après lui, toutes les observations d'OVNI doivent être explicables au moyen de processus naturels ou des erreurs de perception ou même simplement des effets de l'imagination.
Philip Klass me demandait de lui céder l'enregistrement radar des F-16, pour qu'il puisse le soumettre à des spécialistes de Westinghouse, le constructeur du radar des F-16. Je lui ai répondu que ce film appartient à la FAB, mais je lui ai communiqué le résultat de mon analyse. Je n'ai jamais eu de réaction de sa part, probablement parce que j'avais ajouté que la vague belge était quand même à prendre au sérieux, à cause des nombreuses observations visuelles rapprochées.
J'ai trouvé tout récemment un livre18 qui résume la théorie usuelle pour les "anges radar dans une atmosphère transparente". On y fait également appel à des variations de l'indice de réfraction par suite de la présence de vapeur d'eau (I.396), mais on se limite au problème de la détection. On affirme que l'intensité du signal rétrodiffusé est proportionnelle à la valeur moyenne du carré des fluctuations de l'indice de réfraction. Ce n'est pas la moyenne des fluctuations, mais de leurs carrés. Elle n'est donc pas nulle pour des fluctuations aléatoires!
Un autre chapitre du même livre19 est consacré aux résultats obtenus pour l'étude des précipitations au moyen d'un radar Doppler à impulsions. Chacune des gouttes de pluie conduit à une faible rétrodiffusion de l'onde radar et la sommation de toutes ces ondes donne également lieu à des interférences. Il était impressionnant pour moi de voir qu'on avait effectivement mesuré des spectres pour la vitesse Doppler des gouttes de pluie, mais les fluctuations sont petites (quelques m/s). Si j'avais connu ce résultat en 1994, je n'aurais peut-être pas jugé utile d'avancer l'explication proposée, puisque des modifications de la vitesse Doppler instantanée aussi faibles n'auraient pas suffi pour déjouer les filtres électroniques des radars des F-16.
Notons cependant que les vitesses de chute des gouttes de pluie dépendent surtout de leurs tailles qui ne varient que dans de faibles proportions. Pour des réflexions partielles par des nuages invisibles, il faudra considérer les mouvements instantanés de groupes de molécules à l'échelle du millimètre. Je ne peux pas dire a priori quel devrait être l'ordre de grandeur des fluctuations de la vitesse Doppler instantanée. Il doit être déterminé à partir des faits observés. C'est ce que nous ferrons au chapitre suivant.
Bien que le modèle que j'ai présenté pour rendre compte des mystérieux enregistrements radar des F-16 était apparemment osé, il apparaît maintenant qu'il n'était pas extravagant. Il a surtout l'avantage d'être conceptuellement plus simple que le modèle habituel, où l'essentiel se cache derrière une formule. Il permet de comprendre facilement pourquoi la vitesse Doppler instantanée n'est pas la vitesse moyenne. Le modèle des turbulences a été utilisé pour rendre compte de la rétrodiffusion par les surfaces supérieures et latérales des "bulles de convection" dans une atmosphère optiquement transparente20. On a même construit des radars Doppler spécialement adaptés à ce type de mesures21, puisque les fluctuations de l'indice de réfraction sont "d'excellents traceurs de la structure et de la dynamique atmosphérique". Passons maintenant à la confrontation entre la théorie et l'expérience.


Introduction

RETOUR (1) - Des échos radar d'origine météorologique

SUITE (3) - Les enregistrements radar des F-16

(4) - Le phénomène OVNI


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